korelácia

korelácia [lat.] — všeobecne vzájomný vzťah, vzájomná závislosť dvoch alebo viacerých javov; nevyjadruje však vzájomnú príčinnosť javov (→ kauzalita);

1. fyz. vzájomná závislosť hodnôt danej fyzikálnej veličiny v rôznych oblastiach priestoru a (alebo) v rôznom čase. V náhodných procesoch korelácia vyjadruje vzájomnú súvislosť hodnôt danej veličiny a jej hodnôt v minulosti. Mieru vzájomnej korelácie medzi časovo a priestorovo závislými hodnotami rôznych fyzikálnych veličín v danom fyzikálnom systéme vyhodnocuje korelačná funkcia. Korelačné funkcie sa používajú pri štúdiu rovnovážnych fyzikálnych systémov, ale možno ich definovať aj v nerovnovážnej štatistickej fyzike.

Najčastejšie používanou rovnovážnou korelačnou funkciou je párová korelačná funkcia, ktorá je definovaná ako stredná hodnota dvoch náhodných fyzikálnych veličín \(\mathbf{f}_1\) a \(\mathbf{f}_2\) meraných v rôznych časoch \(t\) a \(t+\tau\) a v rôznych polohách \(\mathbf{R}\) a \(\mathbf{R}+\mathbf{r}\): \(C(\mathbf{r},\tau) = \bigl\langle \mathbf{f}_1(\mathbf{R},t)\cdot \mathbf{f}_2(\mathbf{R}+\mathbf{r},t+\tau)\bigr\rangle - \bigl\langle \mathbf{f}_1(\mathbf{R},t)\bigr\rangle \cdot\bigl\langle \mathbf{f}_2(\mathbf{R}+\mathbf{r},t+\tau)\bigr\rangle\). Lomené zátvorky reprezentujú výpočet strednej hodnoty cez všetky možné konfigurácie štatistického súboru (→ kánonický súbor) a cez všetky priestorové súradnice \(\mathbf{R}\) a časy \(t\). Špeciálnymi prípadmi sú priestorové korelačné funkcie definované v rovnakom čase (teda \(\tau=0\)) a autokorelačné funkcie vyjadrujúce koreláciu tej istej fyzikálnej veličiny \((\mathbf{f}_1\equiv\mathbf{f}_2)\) v danom bode priestoru (\(\mathbf{r}=\mathbf0\)) v rôznych časoch.

Príkladom použitia párovej korelačnej funkcie je štúdium magnetických systémov, v ktorých môže v dôsledku interakcie medzi spinmi susedných atómov vzniknúť magnetické usporiadanie. Pretože priestorové komponenty vektora spinu \(\mathbf{S} = (S^x,S^y,S^z)\) súvisia s príslušnými zložkami magnetického momentu atómu, hodnoty priestorových spinových korelačných funkcií vyjadrujú mieru magnetického usporiadania v štandardných (feromagnety, antiferomagnety), ako aj v nekonvenčných magnetických systémoch, akými sú napr. spinové sklá.

Napr. korelačná funkcia

\(C(\mathbf{r}) = \bigl\langle \mathbf{S}(\mathbf{R})\cdot\mathbf{S}(\mathbf{R}+\mathbf{r})\bigr\rangle - \bigl\langle \mathbf{S}(\mathbf{R})\bigr\rangle\cdot\bigl\langle \mathbf{S}(\mathbf{R}+\mathbf{r})\bigr\rangle\) vyjadruje mieru orientácie dvoch spinov so vzájomnou polohou \(\mathbf{r}\) do jedného smeru. Táto korelačná funkcia je kombináciou mocninovej a exponenciálnej funkcie \(C(\mathbf{r}) \propto r^{-\alpha}e^{-r/\xi}\), kde \(r\) je dĺžka vektora \(\mathbf{r}\) a exponent \(\alpha\) je kladné číslo. Korelačná dĺžka \(\xi\) závisí od teploty systému a diverguje do nekonečna pri kritickej teplote, pri ktorej v systéme dochádza k spontánnemu magnetickému usporiadaniu (→ Curieho teplota). Pri kritickej teplote preto korelačná funkcia klesá len mocninovo, čo znamená silnú koreláciu medzi vzdialenými spinmi. Pri všetkých ostatných teplotách systému korelačná funkcia klesá s rastúcou vzdialenosťou exponenciálne. Iné korelačné funkcie vyjadrujú korelácie medzi rôznymi zložkami spinov, napr. vzájomná korelácia zložiek spinov \(S^z(\mathbf{R})\) a \(S^x(\mathbf{R}+\mathbf{r})\) je daná korelačnou funkciou \(\bigl\langle S^z(\mathbf{R})S^x(\mathbf{R}+\mathbf{r})\bigr\rangle\). Na identifikáciu magnetického usporiadania sú dôležité aj viacspinové korelácie kvantifikované korelačnými funkciami, do ktorých vstupujú súčiny troch a viacerých spinov v rôznych bodoch systému.

V teórii mnohočasticových systémov (kryštály, roztoky, plyny) je párová korelačná funkcia (nazývaná aj radiálna distribučná funkcia) mierou fluktuácie hustoty častíc. Udáva typické vzdialenosti medzi susednými časticami. Príkladom autokorelačnej funkcie je funkcia \(A(\tau) = \langle \mathbf{f}(t)\cdot\mathbf{f}(t+\tau)\rangle\), ktorá udáva štatistické vlastnosti náhodne fluktuujúcej sily pôsobiacej na teleso vykonávajúce Brownov pohyb;

2. jaz. závislostný vzťah na paradigmatickej osi jazyka. Zahŕňa špecifikáciu (istý prvok špecifikuje iný prvok), komplementaritu (prvky sú vo vzájomnej závislosti) a autonómiu (závislosť medzi dvoma premennými). Korelácia má osobitné uplatnenie vo fonológii: vzťahuje sa na rad foném, ktoré sa vzájomne párovo odlišujú tým istým dištinktívnym príznakom. Korelácie sa teda vytvárajú podľa príznaku, ktorý sa kladie do základu množiny fonémových párov, napr. znelostná korelácia – rad dvojíc foném, ktoré sú v protiklade na základe príznaku znelosť (p – b, t – d, k – g). Z fonológie sa tento výraz preniesol aj do morfológie, a to na označenie vzťahu medzi bezpríznakovým a príznakovým členom binárnej opozície v rámci morfologických kategórií. Výraz korelácia sa všeobecne používa aj na označenie súvzťažnosti jednotiek, napr. korelačné spojky nielen – ale aj, korelačné zámená alebo príslovky, napr. ten – ktorý, tam – kde;

3. kyb. → korelácia signálov;

4. mat. projektívne lineárne zobrazenie projektívneho priestoru do svojho duálneho priestoru (→ duálny priestor projektívneho priestoru) zachovávajúce incidenciu. V prípade projektívnej roviny je známa dualita medzi bodmi a priamkami, ktorá zobrazuje zväzok priamok prechádzajúcich jedným bodom do vhodnej priamky a obrátene. Ide o špeciálny prípad polárneho zobrazenia roviny.

Vo všeobecnosti je koreláciou polárne zobrazenie vzhľadom na regulárnu kvadratickú nadplochu (→ polarita). Napr. v podkladovom vektorovom priestore reálnej projektívnej roviny pre jednotkovú guľovú plochu so stredom v začiatku sústavy súradníc sa danému jednorozmernému podpriestoru, t. j. projektívnemu bodu, priradí podpriestor maximálnej dimenzie, ktorý je naň kolmý, t. j. projektívna nadrovina. Korelácia v projektívnom priestore navzájom viaže objekty doplnkovej dimenzie;

5. v štatistike vzájomná závislosť náhodných premenných. Korelácia medzi dvoma náhodnými premennými sa nazýva jednoduchá korelácia (často len korelácia). Na jej kvantitatívne vyjadrenie sa zvyčajne používa koeficient korelácie, najčastejšie Pearsonov koeficient korelácie. Korelácia medzi dvoma náhodnými premennými po eliminovaní variability spôsobenej závislosťou od ďalších súvisiacich náhodných premenných sa nazýva parciálna korelácia, korelácia medzi náhodnou premennou a množinou náhodných premenných mnohonásobná korelácia. Všeobecnejšia ako mnohonásobná korelácia je kánonická korelácia, ktorá opisuje závislosť medzi dvoma množinami náhodných premenných. Na určenie miery korelácie medzi náhodnými premennými (náhodnými vektormi alebo súbormi dát) sa používa korelačná analýza využívajúca prostriedky matematickej štatistiky, napr. výpočet rôznych typov korelačných koeficientov (koeficientu korelácie, koeficientu poradovej korelácie) alebo korelačnej matice.

Štatistické určenie korelácie premenných sa používa v rôznych oblastiach života a vedeckých disciplínach (v sociológii, ekonómii, demografii, prírodných vedách) na vyhodnotenie zozbieraných alebo nameraných údajov.