Vyhľadávanie podľa kategórií: matematika

Zobrazené heslá 1 – 50 z celkového počtu 97 hesiel.

Zobrazujem:

Začiatok hesla

Zoraďujem:

A - Z

abakus

abakus [gr. > lat.] —

1. archit. krycia doska, ktorá ukončuje antickú stĺpovú hlavicu a na ktorej spočíva kladie; nadhlavica. Abakus bol prvýkrát použitý v egyptskej architektúre. V dórskom stavebnom kánone je hladký, nečlenený, v iónskom a korintskom stavebnom kánone spravidla profilovaný;

2. v antickom Ríme bohato vykladaný ozdobný stolík, ako aj hracia doska na hry s kockami;

3. mat. staroveká a stredoveká počítacia pomôcka na sčitovanie a odčitovanie prirodzených čísel, príp. aj kladných zlomkov. Tvorí ju tabuľka s vyznačenými stĺpcami, do ktorých sa vzostupne sprava doľava ukladajú znaky jednotiek príslušného rádu (kamienky, guľôčky alebo paličky, neskôr žetóny s vyznačeným počtom jednotiek). Z abakusu sa vyvinuli počítadlá s guľôčkami na nitiach alebo na drôtoch v radoch alebo v stĺpcoch (čínske počítadlo süan-pchan, ruský sčot, školské počítadlo).

Abel, Niels Henrik

Abel, Niels Henrik, 5. 8. 1802 Finnøy – 6. 4. 1829 Froland — nórsky matematik. Absolvoval študijné pobyty v Kodani, Berlíne a Paríži. Krátko pôsobil na inžinierskej škole v Kristianii (Oslo), docentúru, priznanú v Berlíne tesne pred smrťou, nenastúpil. Dokázal neriešiteľnosť všeobecnej algebraickej rovnice stupňa aspoň 5 pomocou odmocnín. Bol spoluzakladateľom teórie grúp a teórie eliptických funkcií (cena francúzskej Akadémie vied 1830) a zakladateľom teórie algebraických funkcií. Významne prispel k rozvoju teórie nekonečných radov. Sú podľa neho nazvané mnohé matematické objekty. Na jeho počesť sa od roku 2003 každoročne udeľuje Abelova cena, jedno z najprestížnejších ocenení žijúcich matematikov.

abelovský integrál

abelovský integrál — integrál tvaru

\(\displaystyle{\int_a^b f(x,y)dx},\)

kde \(f\) je racionálna funkcia dvoch premenných \(x\), \(y\) a \(y\) je algebraická funkcia premennej \(x\).

absolút

absolút [lat.] — nadkvadrika v nevlastnej nadrovine \(x_0 = 0\) rozšíreného komplexného \(n\)-rozmerného afinného priestoru definovaná rovnicou \(\sum_{i=0}^{n}{x}_i^{2}=0\) (v rovine sú to dva kružnicové body na nevlastnej priamke, v trojrozmernom priestore imaginárna kužeľosečka v nevlastnej rovine). Absolút je invariantom všetkých ekviformných a metrických transformácií rozšíreného ekviformného, resp. rozšíreného euklidovského priestoru.

absolútna geometria

absolútna geometria — elementárna geometria vybudovaná na základe axióm incidencie, usporiadania, zhodnosti a spojitosti bez použitia axiómy rovnobežnosti. Názov pochádza od J. Bolyaia, jedného z tvorcov neeuklidovskej geometrie.

absolútna hodnota

absolútna hodnota

1. absolútna hodnota reálneho čísla — funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priraďuje hodnotu \(|a|\) (číta sa: absolútna hodnota čísla \(a\)) definovanú takto:

\(|a| =a \), ak \(a\ge 0\),

\(|a| =-a\), ak \(a\lt 0\),

napr. \(|7{,}1| = 7{,}1\); \(|\frac{-13}{5}| =\frac{13}{5}\). Platí:

1. \(\left| |a| -|b| \right| \le |a \pm b| \le |a| + |b|\),

2. \(|a\cdot b| = |a|\cdot |b|\) pre každé dve reálne čísla \(a\), \(b\);

2. absolútna hodnota komplexného čísla — funkcia, ktorá každému komplexnému číslu \(a\) = \(a_1 + a_2\pmb{i}\) (\(a_1\), \(a_2\) sú reálne čísla) priraďuje nezáporné reálne číslo \(|a| = \sqrt[2]{a_1^2 + a_2^2}\);

3. absolútna hodnota vektora → dĺžka vektora.

absolútna chyba neúplne určeného čísla

absolútna chyba neúplne určeného čísla \(x\)

absolútna hodnota \(|x-x^\ast|\) rozdielu medzi aproximáciou \(x\) čísla a presnou hodnotou \(x^\ast\) čísla, napr. pre aproximáciu \(3,14\) čísla \(\pi\) sa absolútna chyba rovná \(|3,14 -\pi| = 0,0015926...\)

absolútne konvergentný rad

absolútne konvergentný rad — taký nekonečný rad \(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\), že rad \(\sum_{n=1}^{\infty }\left\vert {a}_{n}\right\vert \) pozostávajúci z absolútnych hodnôt jeho členov konverguje (→ konvergentný rad).

Abú Kámil Šudžá

Abú Kámil Šudžá, ibn Aslam ibn Muhammad al-Hásib al-Misrí, okolo 850 – okolo 930 — arabský matematik pôsobiaci v Egypte. Vynikol v algebre a geometrii. V algebraickom traktáte Kniha o algebre (Kitáb al-džabr va l-muqábala) rozvíja geometrickú algebru a posilňuje aritmetizáciu riešenia rovníc, v diele Kniha o meraní a geometrii (Kitáb al-misáha va l-handasa) sa zaoberal numerickými vzťahmi medzi prvkami v pravidelnom päťuholníku a desaťuholníku.

adícia

adícia [lat.] — pripájanie, pridávanie;

1. chem. chemická reakcia, pri ktorej sa na násobné väzby v molekulách viažu, t. j. adujú, menšie molekuly, pričom dochádza k zníženiu násobnosti väzby (z trojitej vzniká dvojitá až jednoduchá). Podľa mechanizmu reakcie sa adície delia na elektrofilné, nukleofilné a radikálové. Pri elektrofilnej adícii sa reakcia začína naviazaním elektrofilnej častice (najpomalší stupeň reakcie). Napr. adícia chlorovodíka na propén sa začína adíciou vodíkového katiónu H+ viažuceho sa na ten z uhlíkov násobnej väzby, ktorý je viac substituovaný:

Pri nukleofilnej adícii (uplatňuje sa najčastejšie na polárnych väzbách, aké sú v aldehydoch, ketónoch ap.) je mechanizmus opačný: v najpomalšom kroku nastáva adícia nukleofilnej častice na násobnú väzbu (na atóme, kde je v dôsledku polarity väzby nedostatok elektrónov):

Reťazový charakter majú radikálové adície, pri ktorých sa na násobnú väzbu viažu radikály vznikajúce pôsobením ultrafialového žiarenia alebo peroxidových katalyzátorov (dibenzoylperoxid) na činidlo. Podľa typu činidiel sa rozoznávajú halogenácie, hydratácie, hydroformylácie ap. Z priemyselného hľadiska sú dôležité hydrogenácie, pri ktorých sa na násobné väzby aduje vodík. Špeciálnym typom adícií sú polymerizácie. Na výstavbu cyklických a bicyklických zlúčenín sa využívajú cykloadičné reakcie, pri ktorých sa obidve novovznikajúce väzby vytvárajú súčasne;

2. mat. a) cudzojazyčný názov sčitovania; b) generický princíp tvorby prirodzených čísel z čísla 1 postupným a neohraničeným pripočítavaním čísla 1 k číslam, ktoré boli takým spôsobom už utvorené (napr. na základe Peanovej axiomatiky prirodzených čísel).

aditívna funkcia

aditívna funkcia

1. funkcia f reálnej premennej s vlastnosťou \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) pre ľubovoľné prípustné hodnoty x, y premennej;

2. aditívna aritmetická funkcia — aritmetická funkcia f s vlastnosťami \(f(xy) = f(x) + f(y)\) pre ľubovoľné nesúdeliteľné hodnoty x, y;

3. aditívna funkcia množín — funkcia f množín s vlastnosťou \(f(A \cup B) = f(A) + f(B)\) pre ľubovoľné disjunktné množiny A, B z definičnej oblasti funkcie (→ funkcia).

aditívna grupa

aditívna grupa — grupa, v ktorej sa grupová operácia nazýva sčitovanie, neutrálny prvok nulový prvok a neutralizujúci prvok opačný prvok; napr. množina celých čísel Z vzhľadom na operáciu sčitovania tvorí aditívnu grupu, v ktorej neutrálnym prvkom je číslo 0 a neutralizujúcim prvkom čísla a je k nemu opačné číslo -a.

adjungovaná matica

adjungovaná matica k štvorcovej matici \(A = (a_{ij})\) — matica \(\mathrm{adj}\ A = (A_{ji})\), ktorej prvkami sú algebraické doplnky prvkov \(a_{ji}\) matice \(A^T\) transponovanej k matici \(A\) (→ transponovaná matica).

adjungovaný operátor

adjungovaný operátor k lineárnemu operátoru \(A:\ X\rightarrow Y\) — operátor \(A^*:\ Y^*\rightarrow X^*\), ktorý ku každému prvku \(g\in Y^*\) priraďuje taký lineárny funkcionál \(f\in X^*\), že \(f(x) = g(A(x))\) pre každý prvok \(x\in X\) (\(X^*\), resp. \(Y^*\) je priestor duálny k priestoru \(X\), resp. \(Y\)).

adjunkcia

adjunkcia [lat.] — doplnenie algebraickej štruktúry \(R\) (okruhu, poľa) ďalším prvkom \(\alpha\) alebo sústavou prvkov \(\{\alpha_l\}_{l\in I}\) s následným rozšírením operácií štruktúry \(R\) tak, aby množina \(R\cup\{\alpha\}\), resp. \(R\cup\{\alpha_l\}_{l\in I}\), vzhľadom na rozšírené operácie, doplnená produktmi týchto operácií, tvorila algebraickú štruktúru toho istého druhu ako \(R\) (okruh, pole); o novej štruktúre označenej \(R[\alpha]\), resp. \(R[\dots ,\alpha_l,\dots]\) v prípade okruhu, a \(R(\alpha)\), resp. \(R(\dots,\alpha_l,\dots)\) v prípade poľa, sa hovorí, že vznikla adjunkciou prvku \(\alpha\), resp. sústavy prvkov \(\{\alpha_l\}_{l\in I}\), k štruktúre \(R\); napr. adjunkcia iracionálneho čísla \(\sqrt{2}\) k poľu racionálnych čísel \(\mathbb{Q}\) generuje pole \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), ktorého prvky majú tvar \(a+b\sqrt{2}\), kde \(a, b \in \mathbb{Q}\).

afinita

afinita [lat.] — príbuznosť, príbuzenstvo;

1. biol. spoločný výskyt dvoch alebo viacerých druhov rastlín alebo živočíchov na jednom mieste, pričom sa navzájom priamo neovplyvňujú. Príčiny spoločného výskytu spočívajú väčšinou v medzidruhových vzťahoch, najmä potravných (napr. dravce sú viazané na korisť, parazity na hostiteľa), ale aj v rovnakých nárokoch na prostredie, živiny, úkryt ap.;

2. chem. schopnosť látok vstupovať do chemickej reakcie. Mierou afinity je zmena Helmholtzovej energie (pri stálom objeme a teplote) alebo Gibbsovej energie (pri stálom tlaku a teplote). Chemické reakcie prebiehajú samovoľne v sústavách, v ktorých má afinita kladnú hodnotu. Afinita sa dá určiť výpočtom z chemických potenciálov východiskových látok a produktov, experimentálnymi metódami z hodnôt reakčných tepiel a reakčnej entropie alebo elektromotorického napätia galvanických článkov. V chemickej praxi sa používa štandardná afinita, čo je afinita danej reakcie pri teplote 298 K a pri jednotkových koncentráciách všetkých zložiek reakčnej sústavy. Hodnoty štandardných afinít sa uvádzajú v chemických príručkách a tabuľkách;

3. jaz. príbuznosť niekoľkých jazykov, ktoré sú charakteristické príbuznými fonologickými, gramatickými, prípadne historicko-geografickými vlastnosťami, a to bez ohľadu na genetickú príbuznosť týchto jazykov;

4. mat. afinná transformácia – regulárne afinné zobrazenie dvoch afinných priestorov rovnakej dimenzie. Napr. otočenie euklidovskej roviny okolo začiatku sústavy súradníc o uhol veľkosti 90 stupňov.

5. mikrobiol. vzájomné pôsobenie molekúl, ktorého podstatou sú nekovalentné interakcie: van der Waalsove sily, hydrofóbne interakcie, elektrostatické príťažlivé sily medzi opačne nabitými iónmi a molekulami. Biologická afinita ako vlastnosť molekúl sa využíva pri purifikácii proteínov z komplexných zmesí;

6. práv. vzťah jedného z manželov k pokrvným príbuzným druhého z manželov (napr. manžel – sestra manželky, manželka – brat manžela). Vzniká uzavretím manželstva, trvá počas neho a zaniká po jeho ukončení. Podľa kánonického práva v katolíckej cirkvi trvá aj po zániku manželstva smrťou jedného z manželov a predstavuje v určitých prípadoch prekážku uzavretia manželstva s pozostalým vdovcom alebo vdovou. V rímskom práve (affinitas) relatívna prekážka uzavretia platného manželstva. Významnú úlohu mu pripisovalo stredoveké kánonické právo. Podľa uhorského zákonníka (Tripartitum) a kánonického práva (→ tridentský koncil) afinita bola manželskou prekážkou v prípade manželových alebo manželkiných pokrvných príbuzných, a to v priamej línii bez obmedzenia a v bočnej línii do 4. stupňa. Kváziafinitné príbuzenstvo sa vytváralo aj v prípade snúbeneckého vzťahu a týkalo sa ako manželská prekážka príbuzných snúbencov do 1. stupňa. Na rozdiel od pokrvného príbuzenstva mohol však pápež udeliť dišpenz už osobám v 1. – 2. stupni a biskup osobám v nižších stupňoch. Od konca 18. stor. sa právne predpisy o afinite ako o manželskej prekážke postupne zmierňovali. Vo väčšine súčasných právnych poriadkov, najmä európskeho, kontinentálneho typu, už nemá právne účinky.

afinná geometria

afinná geometria — oblasť geometrie, ktorá skúma:

1. výstavbu afinných priestorov a ich podpriestorov (lineárnych afinných variet);

2. afinné zobrazenia afinných priestorov;

3. afinné variety (algebraické variety v afinnom priestore), t. j. podmnožiny bodov afinného priestoru, ktorých súradnice vyhovujú konečným sústavám algebraických rovníc \(f_i (x_1, \dots, x_n) = 0\), \(i = 1, \dots, r\);

4. invarianty afinného priestoru vzhľadom na grupu afinných transformácií, t. j. také vlastnosti afinného priestoru a jeho podmnožín, ktoré sa zachovávajú pri zobrazení afinného priestoru každou afinnou transformáciou.

Prvé zmienky o afinných transformáciách sa objavili v 18. stor. (L. Euler). Rozvoj teórie afinných priestorov a transformácií v posledných troch desaťročiach 19. stor. podnietila koncepcia klasifikácie priestorov F. Kleina (Erlangenský program, 1872). Axiomatizáciu afinného priestoru podal H. Weyl v monografii Priestor – čas – hmota (Raum – Zeit – Materie, 1918). Od 30. rokov 20. stor. sa intenzívna pozornosť venuje štúdiu konečných afinných rovín.

Aiken, Howard Hathaway

Aiken [ejkn], Howard Hathaway, 9. 3. 1900 Hoboken, New Jersey – 14. 3. 1973 Saint Louis, Missouri — americký matematik a informatik. R. 1939 – 61 pôsobil na Harvardovej univ., od 1946 profesor aplikovanej matematiky, od 1961 profesor informatiky na univerzite v Miami. R. 1937 navrhol automatický počítací stroj a na jeho návrh (v spolupráci s Clairom D. Lakom, *1888, †1958; Benjaminom M. Durfeem, *1897, †1980; a Francisom E. Hamiltonom, *1898, †1972) začala firma IBM 1939 konštruovať automatický sekvenčne riadený počítací stroj, ktorý sa 1944 stal základom počítača Mark I a jeho ďalších nasledovníkov.

alef

alef [hebr.] — prvé písmeno hebrejskej abecedy (→ hebrejské písmo) zapisované znakom \(\aleph\). Doplnené indexom, ktorým je celé nezáporné číslo, označuje mohutnosť (kardinálne číslo) nekonečných dobre usporiadaných množín. Napr. symbol \(\aleph_0\) označuje mohutnosť všetkých spočítateľných nekonečných množín (napr. množiny prirodzených čísel \(\mathbb{N}\), množiny celých čísel \(\mathbb{Z}\), množiny racionálnych čísel \(\mathbb{Q}\)).

algebraická grupa

algebraická grupa — úplná abstraktná algebraická varieta \(G\) s operáciou \(f\colon G\times G\rightarrow G\), ktorá je racionálnym zobrazením, je definovaná všade na \(G\) a vzhľadom na ňu algebraická varieta tvorí grupu, pričom zobrazenie \(\varphi\colon x\mapsto x^{-1}\) pre každý prvok \(x\in G\) je všade definované racionálne zobrazenie \(G\) do \(G\). Ak je varieta \(G\) úplná, operácia \(f\) je komutatívna; varieta \(G\) sa nazýva abelovská varieta. Príkladom abelovskej variety je krivka tretieho stupňa v komplexnej projektívnej rovine s operáciou sčitovania bodov.

algebraická krivka

algebraická krivka, algebraická čiara — algebraická varieta rozmeru 1, ktorá sa dá izomorfne zobraziť do trojrozmerného projektívneho priestoru nad algebraicky uzavretým poľom. V projektívnej, resp. v afinnej rovine nad poľom \(T\) je algebraická krivka definovaná jedinou algebraickou rovnicou.

O algebraickej čiare zvyčajne hovoríme, ak \(T=\mathbb{R}\). Rovinná algebraická krivka je teda množina všetkých bodov \((x_0,x_1,x_2)\) projektívnej roviny, resp. bodov \((x,y)\) afinnej roviny, ktoré sú koreňmi rovnice \(f(x_0,x_1,x_2)=0\), resp. \(F(x,y)=0\), kde \(f\) je nenulový homogénny polynóm, resp. \(F\) je nenulový polynóm stupňa \(m\ge 1\). Každá z uvedených rovníc sa nazýva rovnica algebraickej krivky, číslo \(m\) stupeň krivky. Krivka stupňa 1 sa nazýva priamka, krivka stupňa 2 kužeľosečka, krivka stupňa 3 kubika (kubická krivka) atď.; všeobecne sa hovorí o krivke stupňa \(m\). Priamky sa v bežnej reči nenazývajú krivkami.

Ak je polynóm \(f\) reducibilný, t. j. \(f=f_1\cdot f_2\), kde \(f_1\), \(f_2\) sú polynómy, a \(\mathrm{stup}\ f_1 \lt \mathrm{stup}\ f\), \(\mathrm{stup}\ f_{2} \lt \mathrm{stup}\ f\), krivka s rovnicou \(f=0\) sa nazýva reducibilná (rozložiteľná). Je zjednotením kriviek \(f_1=0\) a \(f_2=0.\) Krivka definovaná ireducibilným polynómom sa nazýva ireducibilná (nerozložiteľná). Každú krivku možno vyjadriť v tvare zjednotenia konečného počtu ireducibilných kriviek, ktoré sa nazývajú komponenty (zložky) krivky.

algebraická operácia

algebraická operácia — operácia, ktorej operandy (prvky vstupujúce do operácie) i výsledky sú v tej istej množine; je to teda zobrazenie \(M^n\rightarrow M\) n-tej karteziánskej mocniny množiny \(M\) do množiny \(M\); takáto operácia sa nazýva n-árna (pre \(n = 1, 2, 3, \dots\) ; unárna, binárna, ternárna, …). Príkladom unárnej operácie je zobrazenie množiny do (na) seba a priradenie prvku inverzného k danému prvku v grupe. Príkladmi binárnych operácií sú sčitovanie a násobenie v číselných okruhoch, príkladom ternárnej operácie priradenie ťažiska trojuholníka k jeho vrcholom.

algebraická štruktúra

algebraická štruktúra — množina, na ktorej je definovaná aspoň jedna algebraická operácia; množina operácií môže byť aj nekonečná. Príkladmi algebraických štruktúr sú číselné množiny s operáciami sčitovania a násobenia, grupoidy, pologrupy, grupy, okruhy, telesá, moduly atď. Ak je binárna operácia \(\cdot\) algebraickej štruktúry asociatívna, t. j. platí \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\) pre každú trojicu \(a,b,c\) prvkov štruktúry, algebraická štruktúra sa nazýva asociatívna vzhľadom na operáciu \(\cdot\). Pojem asociatívnosti možno rozšíriť na n-árnu operáciu s ľubovoľným prirodzeným číslom n. Napr. množina celých čísel \(\mathbb Z\) je algebraická štruktúra asociatívna vzhľadom na sčitovanie aj na násobenie. Ak má algebraická štruktúra jedinú operáciu, vzhľadom na ktorú je asociatívna, nazýva sa jednoducho asociatívna algebraická štruktúra. Algebraická štruktúra \(A\) s operáciami \(\cdot, \dots\) sa zvyčajne označuje \((A,\cdot , \dots)\); napr. okruh celých čísel \(\mathbb{Z}\) je algebraická štruktúra \((\mathbb{Z},+,\cdot)\).

algebraický doplnok

algebraický doplnok (prvku \(a_{ij}\) v determinante \(\vert a_{ij}\vert\)) — subdeterminant stupňa \(n-1\) v determinante stupňa \(n\), ktorý vznikne vynechaním riadka a stĺpca obsahujúceho prvok \(a_{ij}\), vynásobený činiteľom \({(-1)}^{i+j}\).

algebraický výraz

algebraický výraz — výraz s premennou (neznámou, neurčitou, resp. s niekoľkými premennými, neznámymi, neurčitými), ktorý vznikol použitím konečného počtu operácií sčitovania, násobenia, umocňovania s celočíselným exponentom a odmocňovania; napr. \(2{x}^{2}-x+\sqrt[3]{{x}^{5}}-7\), pričom všetky použité konštanty, premenné ap. sú z algebraickej štruktúry vybavenej všetkými použitými operáciami.

algebra logiky

algebra logiky — časť matematickej logiky založená na aplikácii algebraických metód v logike. Tento pojem sa dnes používa výlučne v historickom význame. Algebra logiky vznikla pôvodne ako algebra tried, neskôr bola interpretovaná ako algebra výrokov či výrokový kalkul. Jej iniciátormi boli G. Boole (Boolova algebra) a A. De Morgan. Ich myšlienky neskôr rozvinuli Ch. S. Peirce, E. Schröder, W. S. Jevons a i. Práce C. E. Shannona (1916) umožnili široké uplatnenie algebry logiky v reléových sieťach, vo výpočtovej technike a v kybernetike.

algebraická varieta

algebraická varieta

1. v klasickom chápaní množina všetkých bodov \(n\)-rozmerného projektívneho, resp. afinného priestoru nad poľom \(T\), ktoré sú koreňmi konečnej sústavy algebraických rovníc

\(f_i(x_0,x_1,\dots ,x_n) = 0,\quad i = 1,\dots, r,\)

resp.

\(F_i(x_1,\dots ,x_n) = 0,\quad i = 1,\dots, r,\)

kde \(f_i\) sú homogénne polynómy ( → forma, význam 7) a \(F_i\) polynómy s koeficientmi z poľa \(T\);

2. v ideálovej koncepcii množina všetkých bodov \(n\)-rozmerného projektívneho, resp. afinného priestoru nad poľom \(T\), ktoré sú koreňmi homogénneho ideálu \(\mathfrak{a}\), resp. ideálu \(\mathfrak{a}\) v oblasti integrity polynómov \(T\lbrack X_0,X_1,\dots, X_n\rbrack \), resp. \(T\lbrack X_1,\dots, X_n\rbrack\). Ak je algebraická varieta zjednotením dvoch vlastných podmnožín, ktoré sú algebraickými varietami, nazýva sa reducibilná (rozložiteľná); v opačnom prípade je ireducibilná (nerozložiteľná). Každá algebraická varieta má vyjadrenie v tvare zjednotenia konečného počtu ireducibilných variet, z ktorých žiadna nie je podmnožinou žiadnej ďalšej z nich. Tieto ireducibilné variety sa nazývajú komponenty (zložky) variety.

algoritmus

algoritmus [arab. + gr.] — procedúra pozostávajúca z konečnej postupnosti jednoznačných na seba nadväzujúcich matematicko-logických krokov určitej triedy vedúca k pozitívnemu alebo negatívnemu rozhodnutiu o riešiteľnosti úlohy, od zadania úlohy k jej vyriešeniu, od daných objektov k novému objektu (pri konštrukcii objektu) a pod. Jednoduchými príkladmi algoritmov sú aritmetické pravidlá sčitovania, násobenia, odmocňovania a iné. Základnými vlastnosťami, ktoré každý algoritmus musí mať, sú determinovanosť (predpis určuje, ktorou operáciou sa má riešenie začať a ktorá operácia má po každej vykonanej operácii nasledovať, pričom určenie musí byť dostatočne presné, aby sa dalo vykonať mechanicky), hromadnosť (algoritmus slúži na riešenie celej triedy úloh, napr. Euklidovým algoritmom sa vypočíta najväčší spoločný deliteľ dvoch ľubovoľných celých čísel) a rezultatívnosť (použitie algoritmu na vstupné údaje sa musí vždy skončiť po konečnom počte krokov a po skončení musí dať algoritmus hľadaný výsledok).

Názov algoritmus pochádza z polatinčeného mena arabského vedca 9. stor. al-Chvárizmího (Algorizmi, Algorithmi), ktorý opísal pravidlá vykonávania základných aritmetických operácií. Pojem algoritmus je však oveľa starší. Uvedený Euklidov algoritmus bol známy okolo roku 300 pred n. l. Dôležitosť formulovania algoritmov na riešenie najrôznejších úloh a nutnosť skúmania algoritmov a ich vlastností vzrástla najmä s rozvojom počítačov. Uvedená charakterizácia algoritmov však na opis výpočtových procesov v počítačoch nestačí. Preto existuje viacero formalizácií pojmu algoritmus, napr. pomocou Turingovho stroja.

anaglyf

anaglyf [gr.] —

1. dvojica stereoskopických snímok (obrazov) alebo stredových priemetov objektu na tú istú priemetňu farebne upravených v doplnkových farbách (napr. v červenej a v azúrovej alebo v menej často používaných modrej a žltej), v minulosti sa používali aj kombinácie červenej a zelenej alebo červenej a modrej farby, ktoré neboli doplnkové. Pri pozorovaní cez okuliare s farebnými filtrami v tých istých doplnkových farbách, ale so zamenenými stranami (cez červený filter sa pozoruje azúrový obraz a cez azúrový filter červený obraz), vzniká priestorový vnem objektu. Využíva sa vo fotografii,kde sa vytvára superpozíciou pása stereoskopických obrazov predmetu v doplnkových farbách, a v polygrafii, kde sa zhotovuje pomocou špeciálnej tlače dvoma farbami (základnou a doplnkovou) z autotypov zhotovených stereoskopickou kamerou s natočeným rastrom. Pri pozorovaní okuliarmi s filtrami v doplnkových farbách sa vytvára plastický vnem čierneho alebo bieleho predmetu kontrastného s farbou pozadia;

2. výtv. hra svetla a tieňa (napr. v maliarstve), ktorá vyvoláva dojem reliéfu.

analytická funkcia

analytická funkcia — funkcia komplexnej premennej, pre ktorú v nejakom okolí každého bodu jej definičnej oblasti existuje jej vyjadrenie v tvare mocninového radu (→ Taylorov rad).

argument funkcie

argument funkcie

1. prvok definičnej oblasti zobrazenia (funkcie); množina argumentov funkcie tvorí definičnú oblasť; napr. funkcia \(y=2x^{2}+3\) pre argument \(1\) (hodnotu premennej) nadobúda funkčnú hodnotu \(5\);

2. zložka aplikácie funkcie, ktorá spolu s funkciou určuje funkčnú hodnotu; napr. vo výraze \(f(a),\) kde \(f\) je nejaká funkcia, výraz \(a\) reprezentuje príslušný argument funkcie a zátvorky \((\) \()\) predstavujú operáciu aplikácie funkcie na argument. Napr. funkcia byť filozofom priraďuje argumentu Sokrates pravdivostnú hodnotu pravda;

3. inform. hodnota odovzdávaná funkcii alebo procedúre, či podprogramu potrebná na vyhodnotenie funkcie alebo na vykonanie procedúry či podprogramu. Argument sa niekedy označuje ako skutočný parameter (→ parameter funkcie).

artikulácia

artikulácia [lat.] —

1. hud. členenie, viazanie alebo oddeľovanie jednotlivých tónov hudobnej frázy. Artikulácia do veľkej miery závisí od pochopenia a výkladu notového zápisu interpretom, resp. vydavateľom (napr. pri kritických vydaniach). Často sa nesprávne stotožňuje s frázovaním. Na artikuláciu sa vzťahuje legato, staccato, spiccato, portato ap. K zvýšeniu napätia v rámci hudobnej frázy prispieva artikulačná pauza;

2. jaz., lek. pohyby rečových orgánov pri stvárňovaní zvukovej reči, t. j. členenie (článkovanie) vzduchového a hlasového prúdu zmenami pozícií a postavení pohyblivých rečových ústrojov v nadhrtanových priestoroch. Hlásky zvukovej reči získavajú svoju akustickú podobu v artikulačných orgánoch (sú súčasťou rečových orgánov) a delia sa na artikulačné priestory (nosová a ústna dutina, dutina hrtana) a vlastné artikulačné orgány (pery, zuby, čeľusť a sánka, ďasná, mäkké a tvrdé podnebie, jazyk). Pri artikulácii nastáva plynulý pohyb rečových ústrojov s následnou zmenou rezonancií nadhrtanových dutín (rozhodujúci činiteľ pri samohláskach a sonórnych spoluhláskach) alebo tvorenie prekážok (úžin a záverov, priehrad) dychovému a hlasovému prúdu na rozličných miestach v nadhrtanových priestoroch (pri šumových spoluhláskach). Prebieha ako komplex pohybov v pevnej nadväznosti (pohybový stereotyp, ktorý sa automatizuje už v detstve). Hlásky sa môžu vytvárať aj pri bezhlasovosti (afónii), keď človek môže len šepkať.

V širšom zmysle je artikulácia časovo koordinovaná činnosť troch skupín rečových ústrojov: dýchacích (respiračných) a upravujúcich (modifikačných) ústrojov, ako aj hlasového (fonačného) ústroja. Artikulácia je aj modulovanie väčších úsekov reči zmenami sily a výšky hlasu i zmenami tempa reči. Artikuláciou sa zaoberá fyziologická (v staršej terminológii artikulačná, resp. genetická) fonetika. Mnoho informácií o artikulačných procesoch možno získať najmä röntgenografiou;

3. mat. vrchol grafu, ktorý je rezom; jeho odstránením sa poruší súvislosť niektorého komponentu grafu, a tým sa zväčší počet komponentov.

axióma výberu

axióma výberu, Zermelova axióma — pre každý systém \(\left\lbrace M_{\alpha }\right\rbrace_\alpha\) neprázdnych množín \(M_\alpha\) existuje zobrazenie \(f\), ktoré každej množine \(M_\alpha\) priraďuje jej prvok, t. j. \(f(M_\alpha) = m_\alpha\in M_\alpha\). Zobrazenie \(f\) sa nazýva funkcia výberu. Je súčasťou Zermelovho-Frankelovho axiomatického systému teórie množín. Napriek zdanlivej intuitívnosti vedie k neintuitívnym výsledkom ako sú napr. existencia nemerateľnej množiny, Banachov-Tarského paradox.

axiómy incidencie

axiómy incidencie — prvá skupina axióm elementárnej geometrie uvádzajúca do súvisu pomocou binárnej relácie, nazývanej incidencia (relácia polohy), prvky základných množín priestoru – body, priamky a roviny. Historicky prvý systém zostavil Euklides (okolo 300 pred n. l.), prelomová formalizácia na báze teórie množín (→ Hilbertova axiomatika elementárnej geometrie) pochádza od D. Hilberta (1899). Systém axióm incidencie tvoria napr. tieto výroky: 1. Relácia incidencie je reflexívna a symetrická; 2. Ak bod inciduje s priamkou a priamka inciduje s rovinou, inciduje aj bod s rovinou; 3. Ak dva rôzne body priamky incidujú s rovinou, aj priamka inciduje s rovinou; 4. Existuje jediná priamka, ktorá inciduje s dvomi rôznymi bodmi; 5. Ak tri body neincidujú s jednou priamkou, existuje jediná rovina, ktorá s nimi inciduje; 6. Ak dve rôzne roviny incidujú s jedným bodom, incidujú ešte s ďalším spoločným bodom; 7. Každá priamka inciduje aspoň s dvomi rôznymi bodmi; 8. Každá rovina inciduje aspoň s tromi bodmi, ktoré neincidujú s jednou priamkou. Axiómy incidencie sú základom definícií a klasifikácie vzájomnej polohy bodov, priamok a rovín.

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan

Brouwer [brouver], Luitzen Egbertus Jan, 27. 2. 1881 Overschie (dnes súčasť Rotterdamu) – 2. 12. 1966 Blaricum — holandský matematik, logik a filozof, jedna z najvýznamnejších osobností matematiky 20. stor. Bol profesorom na Amsterdamskej univerzite (1912 – 51). V ranom období (1909 – 13) dosiahol závažné výsledky vo všeobecnej topológii, prispel k syntéze kombinatorickej a všeobecnej topológie na vyššej abstraktnej úrovni a vyriešil 5. Hilbertov problém. V rokoch 1918 – 28 na základe kritického prehodnotenia teórie nekonečných množín na báze klasickej logiky vybudoval základy intuicionistickej matematiky odmietajúcej všeobecnú platnosť logického princípu vylúčenia tretieho. Intuicionizmus ako logický a filozofický smer sa stal základňou významného prúdu matematiky 20. stor. (intuicionistická a konštruktivistická matematika). Pre Brouwera je matematika slobodnou tvorbou vlastnou ľudskému mysleniu. Jazyk je iba prostriedkom komunikácie a zapamätania. Logika sprostredkúva pravidlá narábania so symbolmi, ale nie priamo matematické pravidlá. Neprotirečivosť je nevyhnutnou, nie však postačujúcou podmienkou existencie matematických objektov. Existovať znamená byť skonštruovaným.

číselná rovina

číselná rovina, rovina komplexných čísel, Gaussova rovina (komplexných čísel) — reálna euklidovská rovina, ktorá je bijektívnym obrazom množiny všetkých komplexných čísel: každému komplexnému číslu \(x + y\mathrm{i}\) (kde \(x,\ y\) sú reálne čísla a \(\mathrm{i}\) imaginárna jednotka) je priradený bod roviny, ktorý má v pevnej karteziánskej sústave súradníc súradnice \([x,\ y]\).

Znázorňovanie komplexných čísel do číselnej roviny zaviedol nemecký matematik Carl Friedrich Gauss.

délsky problém

délsky problém, délska úloha — jedna z troch najslávnejších klasických úloh gréckej antickej matematiky. Jej obsahom je konštrukcia hrany kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku objemu danej kocky. Pôvod úlohy sa podľa tradície prisudzuje veštbe, podľa ktorej mali obyvatelia ostrova Délos sužovaní morovou epidémiou dvojnásobne zväčšiť oltár boha Apolóna v tvare kocky pri zachovaní tvaru, aby ich za to boh zbavil nákazy (pod dvojnásobným zväčšením sa rozumelo zväčšenie charakteristickej miery telesa – jeho objemu). Algebraizácia úlohy vedie k rovnici tvaru \(x^3=2 a^3\), kde \(a\) je dĺžka hrany pôvodnej kocky a \(x\) hľadaná dĺžka hrany novej kocky. Riešením úlohy sa zaoberali mnohí poprední matematici antiky aj neskorších období. Hippokratés z Chia (5. stor. pred n. l.) pretransformoval úlohu na zloženú úmeru \(a : x = x : y = y : 2a\), ktorú využil Menaichmos (4. stor. pred n. l.) na riešenie úlohy pomocou prieniku kužeľosečiek. Archytas z Tarentu (5. – 4. stor. pred n. l.) podal riešenie pomocou prieniku troch rotačných plôch – anuloidu, rotačnej valcovej plochy a rotačnej kužeľovej plochy. Riešením úlohy sa zaoberali aj Eudoxos z Knidu, Platón, Eratosthenés z Kyrény, Nikomédés, Apollónios z Pergy, Herón, Filón Byzantský, Dioklés, Sporos (3. stor.), Pappos z Alexandrie a iní význační matematici antiky a stredovekých arabských krajín. Všetky geometrické riešenia vykonané prostriedkami euklidovských konštrukcií (pravítko, kružidlo) majú aproximatívny charakter. Povahu úlohy v novovekej európskej matematike vysvetlil François Viète, ktorý ukázal, že každú kubickú rovnicu s kladným diskriminantom (→ diskriminant algebraickej rovnice) možno previesť na rovnicu „zdvojnásobenia“ kocky.

diskriminant algebraickej rovnice

diskriminant algebraickej rovnice \(a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0,\ a_0 ≠ 0\) — výraz \(D\) zostavený z koreňov \(c_1, c_2,\dots, c_n\) rovnice podľa vzorca

\(\displaystyle{D = a_{0}^{2n-2}\prod_{k < j}(c_k-c_j)^2},\)

v ktorom sa činitele \((c_k - c_j)\) tvoria pre všetky také dvojice indexov \((k, j)\), kde \(k < j\); napríklad diskriminant kvadratickej rovnice

\(ax^2 + bx + c = 0,\ a ≠ 0,\)

má tvar

\(D = b^2 - 4ac.\)

dualita

dualita [lat.] — dvojnosť, dvojitosť;

1. log. vzťah medzi dvoma formulami, ktoré sú také isté s výnimkou zámeny všeobecného kvantifikátora existenčným, symbolu pre nulovú triedu symbolom pre univerzálnu triedu, zjednotenia množín znakom pre prienik množín, konjunktora disjunktorom, pričom konjunktor, disjunktor a negátor sú základné symboly a všetky ostatné výrokovo-logické spojky sú definovateľné pomocou nich. O dvoch formulách sa potom hovorí, že sú navzájom duálne. Napr. formula p a q je duálna s formulou p alebo q;

2. mat. symetrická relácia v rôznych oblastiach matematiky priraďujúca navzájom dvojice tried objektov, relácií, operácií ap. tak, že ich súčasnou vzájomnou zámenou sa zachováva zmysel definícií, relácií, operácií, výrokov, ako aj pravdivostná hodnota výrokov. Tento fakt spravidla vyjadruje princíp duality v príslušnej oblasti (v matematickej logike, teórii kategórií, projektívnej geometrii a i.).

existenčný kvantifikátor

existenčný kvantifikátor, malý kvantifikátor — symbol \(\exists\) predikátového počtu (časť matematickej logiky) priraďujúci k predikátu \(P\) výrok \(\exists xP(x)\) (číta sa: existuje taký prvok \(x\), pre ktorý platí \(P(x))\), ktorého obsahom je tvrdenie, že množina pravdivosti predikátu \(P\) je neprázdna; napr. výrok \(\exists x \in \mathbb C |x| = 1\) tvrdí, že existuje (aspoň jedno) komplexné číslo, ktorého absolútna hodnota sa rovná 1.

geometrická konštrukcia

geometrická konštrukcia — graficko-logické riešenie geometrickej úlohy vytvárajúce prípustnými technickými prostriedkami konečným počtom krokov prvky operačného priestoru, ktoré určitým spôsobom (všeobecne uznávaným za štandardný) určujú cieľový objekt stanovený podmienkami úlohy. Pre určitú triedu geometrických konštrukcií musia byť dané tieto údaje: 1. operačný priestor (sú v ňom zadané určujúce objekty a odohrávajú sa v ňom jednotlivé kroky konštrukcie); 2. súbor prípustných (použiteľných) prostriedkov; 3. množina prípustných operácií (t. j. elementárne konštrukcie); 4. množina prípustných algoritmov. Napr. euklidovskými konštrukciami elementárnej geometrie sa nazývajú grafické konštrukcie v euklidovskom priestore (1) realizované ideálnym pravítkom a ideálnym kružidlom (2) konečným počtom krokov (4), z ktorých každý je jednou z týchto elementárnych (prípustných) konštrukcií (3): a) zostrojenie priamky incidujúcej s dvoma danými rôznymi bodmi, b) zostrojenie kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom, c) zostrojenie priesečníka dvoch rôznobežných priamok, d) zostrojenie prieniku priamky a kružnice, e) zostrojenie prieniku dvoch kružníc. Euklidovské konštrukcie s výnimkou narysovania priamky (elementárna konštrukcia 1) sú realizovateľné len pomocou kružidla (Mohrove-Mascheroniho konštrukcie) alebo s výnimkou narysovania kružnice (elementárna konštrukcia 2) len pomocou pravítka, ak je k dispozícii jedna pevná kružnica (Ponceletove-Steinerove konštrukcie).

grupoid

grupoid [germánske jazyky > tal. > fr. > nem.] — množina \(M\) s binárnou operáciou \(\circ\), t. j. množina \(M\), v ktorej je ku každej usporiadanej dvojici prvkov \((a, b)\) jednoznačne priradený prvok \(c\in M\) nazývaný zloženie alebo kompozícia prvkov \(a, b\) v uvedenom poradí a označovaný obvykle \(c = a\circ b\).

guľová plocha

guľová plocha, sféra — množina všetkých bodov euklidovského priestoru s rovnakou vzdialenosťou (polomer guľovej plochy) od jedného bodu (stred guľovej plochy).

Ak v karteziánskej sústave súradníc \((O; x, y, z)\) je stredom guľovej plochy bod \(S(a, b, c)\) a polomerom číslo \(r\gt 0\), množina všetkých bodov \(X(x, y, z)\) guľovej plochy je definovaná rovnicou \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (y - c)^2 = r^2\).

Obsah povrchu guľovej plochy sa rovná číslu \(S = 4\pi r^2\). Každá guľová plocha je hranicou určitej gule, obsah guľovej plochy sa rovná obsahu povrchu tejto gule.