eliminácia

eliminácia [lat.] — vylúčenie, odstránenie;

1. chemická reakcia, pri ktorej sa pôsobením bázy z východiskovej molekuly obyčajnej organickej zlúčeniny odštepuje (eliminuje) molekula, napr. H₂O, HBr, HCl, Br₂, pričom vzniká nová násobná väzba (1,2-eliminácia) alebo sa vytvára cyklus:

Pri eliminácii sa častice odštepujú z atómov uhlíka buď naraz (bimolekulárny mechanizmus), alebo sa najprv odštiepi anión odstupujúcej molekuly, vzniká karbkatión (najpomalší stupeň reakcie), z ktorého sa v nasledujúcom stupni odštiepi protón (monomolekulárny mechanizmus). Smer eliminácie je daný Zajcevovým pravidlom, to znamená, že sa vodík odtrhne z toho atómu uhlíka, na ktorom je naviazaných menej atómov vodíka, čo je dané väčšou stabilitou vznikajúcej molekuly.

Zvláštnym prípadom je 1,1-eliminácia, pri ktorej sa obidve častice eliminujú z toho istého atómu. Vzniká termodynamicky nestabilná častica (karbén, nitrén a pod.). Opačnou reakciou je adícia;

2. lek. eliminácia nákazy — trvalé prerušenie cirkulácie pôvodcu nákazy na určitom území, kde sa potom už určité ochorenie nevyskytuje. Eliminácia sa môže dosiahnuť napr. preočkovaním celej populácie alebo izoláciou a preliečením chorých, pričom však zostáva možnosť zavlečenia nákazy na dané územie z iných oblastí. Na Slovensku patria medzi eliminované nákazy napríklad osýpky;

3. mat. proces postupného vylučovania neznámych \(x_1\), \(\ldots\), \(x_n\) zo sústavy algebraických rovníc \(\mathrm{(1)}\ f_1(x_1,\dots,x_n) = 0\), \(\ldots\), \(f_r(x_1,\ldots,x_n) = 0\), kde \(n, r \in \mathbb{N}\) a \(f_1(X_1,\dots,X_n)\), \(\ldots\), \(f_r(X_1,\dots,X_n)\) sú polynómy neurčitých \(X_1\), \(\ldots\), \(X_n\) nad určitým základným poľom \(K\). V prvom kroku eliminácie vznikne vylúčením neznámej \(x_n\) sústava \(\mathrm{(2)}\ g_1(x_1,\dots,x_{n-1}) = 0,\ \dots, g_s(x_1,\dots,x_{n-1}) = 0,\) kde \(g_1(X_1,\dots,X_{n-1}), \dots, g_s(X_1,\dots,X_{n-1})\) sú polynómy neurčitých \(X_1,\dots,X_{n-1}\) nad základným poľom \(K\), \(s \in \mathbb{N}\) s týmito vlastnosťami:

1. ku každému koreňu \((a_1, \dots, a_{n-1})\) sústavy \(\mathrm{(2)}\) existuje konečný počet koreňov \((a_1,\dots,a_{n-1}, \alpha_n^{(i)})\), \(i = 1, \dots, k\), \(k \in \mathbb{N}\) sústavy \(\mathrm{(1)}\), pričom \(\{\alpha_n^{(i)};\ i = 1, \dots, k\}\) je množina koreňov istej algebraickej rovnice\(\mathrm{(3)}\ g(x_n) = 0;\)
2. pre každý koreň \((a_1,\dots,a_{n-1}, a_n)\) sústavy rovníc \(\mathrm{(1)}\) je \((a_1,\dots,a_{n-1})\) koreňom sústavy \(\mathrm{(2)}\); to znamená, že riešenie sústavy \(\mathrm{(1)}\) je ekvivalentné s riešením sústavy \(\mathrm{(2)}\) s následným riešením rovnice \(\mathrm{(3)}\) pre neznámu \(x_n\). Eliminácia je jednoduchá, keď všetky rovnice sústavy \(\mathrm{(1)}\) sú lineárne.

Príklad: Riešte sústavu rovníc o troch neznámych danú predpisom \(2x + 3y - z - 8 = 0\), \(x - y + 2z + 1 = 0\), \(3x - y + 3z - 2 = 0\). Vyjadrením neznámej \(z\) z prvej rovnice \(z = 2x + 3y - 8\), a dosadením do ďalších dvoch rovníc \(5x + 5y - 15 = 0\), \(9x + 8y - 26 = 0\). Následne elimináciou neznámej \(y\) z prvej rovnice eliminovanej sústavy sa získa rovnica \(y = -x + 3\), dosadením do poslednej rovnice \(9x+8(-x+3) -26=0\), po úprave \(x - 2 = 0\), odtiaľ prvý koreň \(x = 2\). Postupným dosadením za \(y = 1\) a z vyjadrenia pre \(z = 2x + 3y - 8\) je \(z = -1\). Trojica \((2, 1, -1)\) je koreňom sústavy.