Hamiltonova funkcia

Hamiltonova funkcia [he-] —

1. mat. funkcia \(H\) v parciálnej diferenciálnej rovnici 1. rádu

\(\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial t}+H\left(t,x^1,\dots,x^n,\frac{\partial z}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial z}{\partial x^n}\right) = 0}\)

(Hamiltonova-Jacobiho diferenciálna rovnica), kde \(z\) je hľadaná funkcia \(n + 1\) premenných \(t\), \(x^1,\dots, x^n\), ktorá sa v rovnici explicitne nevyskytuje;

2. fyz. aj hamiltonián – funkcia charakterizujúca stav fyzikálnej sústavy (môže ju tvoriť aj jedna častica) vo fázovom priestore v daných fyzikálnych podmienkach. Je funkciou zovšeobecnených súradníc \(q_i\), zovšeobecnených hybností \(p_i\) a času \(t\) a je definovaná vzťahom

\(\displaystyle{H(q_i,p_i,t)=\sum_{i=1}^np_i{\dot q}_i-L},\)

kde \({\dot q}_i\) sú zovšeobecnené rýchlosti a \(L\) je Lagrangeova funkcia. Ak je táto mechanická sústava voľnou sústavou alebo je viazaná holonómnymi (väzbové podmienky neobsahujú derivácie súradníc) a zároveň skleronómnymi väzbami (väzbové podmienky neobsahujú explicitne čas) a jej stav nezávisí od času (\(\partial H/\partial t=0\)), Hamiltonova funkcia má tvar

\(H = T + V\)

a význam celkovej energie danej sústavy (\(T\) a \(V\) predstavujú celkovú kinetickú a celkovú potenciálnu energiu sústavy). Nazvaná podľa W. R. Hamiltona.