absolútna hodnota

absolútna hodnota — funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priraďuje hodnotu \(|a|\) (číta sa ako absolútna hodnota čísla \(a\)) definovanú : \(\begin{cases} |a| =a,\ &\mathrm {ak}\ a\ge 0, \\ |a|=-a,\ &\mathrm {ak}\ a<0\end{cases}\). Napr. absolútna hodnota čísla \(|7{,}1| = 7{,}1\), \(\left|\dfrac{-13}{5}\right| =\dfrac{13}{5}\).

Z geometrického hľadiska je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi. Absolútna hodnota komplexného čísla je funkcia, ktorá každému komplexnému číslu \(z = x + \mathrm{i} y\) (\(x\), \(y\) sú reálne čísla) priraďuje nezáporné reálne číslo \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\ge0\) a pre ľubovolné komplexné čísla \(z,\ z_1,\ z_2\) platí:

1. \(|z|=0 \Leftrightarrow z=0,\)
2. \(|z|=|-z|=|\overline{z}|=\sqrt{(z\overline{z})},\)
3. \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\)
4. \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}, \ (z_2\neq 0),\)
5. \(|z_1|-|z_2|\leqq|z_1\pm z_2|\leqq|z_1|+|z_2|\) (trojuholníková nerovnosť),
6. \(\mathbf{Re}\ z \leqq|z|,\ \mathbf{ Im}\ z\leqq|z|.\)

Absolútna hodnota vektora predstavuje dĺžku vektora.