komplexné číslo

komplexné číslo — zovšeobecnenie reálneho čísla prostredníctvom výrazu tvaru \(x+y\mathrm{i}\), kde \(x\) a \(y\) sú reálne čísla a \(\mathrm{i}\) je imaginárna jednotka (\(\mathrm{i}^2 = -1\), resp. \(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\)), pričom \(x\) sa nazýva reálna a \(y\) imaginárna časť komplexného čísla. Ak \(z = x+y\mathrm{i}\) a \(r = p+q\mathrm{i}\) sú komplexné čísla, \(z = r\) práve vtedy, keď \(x = p\) a \(y = q\). Množina \(\mathbb{C}\) všetkých komplexných čísiel obsahuje množinu \(\mathbb{R}\) všetkých reálnych čísel ako podmnožinu. Komplexné číslo \(x+y\mathrm{i}\) je reálne práve vtedy, keď \(y=0\). Komplexné čísla \(y\mathrm{i}\), kde \(y\in\mathbb{R}\), \(y \ne 0\), sa nazývajú rýdzo imaginárne.

Sčitovanie a násobenie komplexných čísel sú definované takto: \((a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i}) = a+c+(b+d)\mathrm{i}\), \((a+b\mathrm{i})\cdot(c+d\mathrm{i}) = ac-bd+(ad+bc)\mathrm{i}\). Množina \(\mathbb{C}\) so sčitovaním a s násobením tvorí pole, ktoré je algebraickým rozšírením poľa \(\mathbb{R}\).

Ak \(z = x+y\mathrm{i}\) je komplexné číslo, číslo \(\overline{z} = x-y\mathrm{i}\) je komplexne združené číslo s číslom \(z\), pričom platí \(z\cdot\overline{z} = x^2+y^2\). Nezáporné reálne číslo \(\left\vert z\right\vert = \sqrt{x^2+y^2}\) sa nazýva absolútna hodnota (resp. modul) komplexného čísla \(z\). Výraz \(z = x+y\mathrm{i}\), kde \(x,y\in\mathbb{R}\), sa nazýva algebraický tvar komplexného čísla. Komplexné číslo \(z = x+y\mathrm{i}\) sa znázorňuje v rovine ako bod s pravouhlými súradnicami \(x\) a \(y\). Jeho vzdialenosť od začiatku súradnicovej sústavy sa rovná \(\left\vert z\right\vert\). Rovina, ktorej body takto znázorňujú komplexné čísla, sa nazýva číselná rovina alebo Gaussova rovina. Výraz \(z = \left\vert z\right\vert (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)\) sa nazýva goniometrický (trigonometrický) tvar komplexného čísla, pričom uhol \(\varphi\), pre ktorý platí \(\cos \varphi = \dfrac{x}{\left\vert z\right\vert}\) a \(\sin \varphi = \dfrac{y}{\left\vert z\right\vert}, (z\neq 0)\), sa nazýva argument komplexného čísla (niekedy aj amplitúda). Goniometrický tvar čísla \(z\) v exponenciálnom zápise je \(z = \left\vert z\right\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\).

Začiatky využívania komplexných čísel, a to najmä pri riešení rovníc, siahajú do 70. rokov 16. stor.