topologický priestor

Text hesla

topologický priestor — množina so systémom otvorených podmnožín. Nech \(X\) je množina a \(\mathcal T\) je systém jej podmnožín. Systém \(\mathcal T\) nazývame topológiou na \(X\), ak spĺňa nasledujúce podmienky:

1. \(\emptyset\in\mathcal T,X\in\mathcal T\),

2. ak \({\left\lbrace U_i\right\rbrace}_{i\in I}\) je taký systém podmnožín, že \(U_i\in \mathcal T\) pre každé \(i\in I\), tak \({\bigcup}_{i\in I}U_i\in \mathcal T\) (topológia je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné zjednotenia otvorených podmnožín),

3. ak \(U_1,\dots ,U_n\in \mathcal T\), tak \(U_1\cap \dots \cap U_n\in I\) (topológia je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné konečné prieniky otvorených podmnožín).

Potom dvojicu \((X, \mathcal T)\) nazývame topologický priestor s nosičom \(X\) a so systémom otvorených podmnožín (topológiou) \( \mathcal T\). Prvky množiny \(X\) nazývame bodmi topologického priestoru. Prvky množiny \( \mathcal T\) nazývame otvorenými množinami priestoru \((X,\ \mathcal T)\).

Skúmaním vlastností topologických priestorov sa zaoberá topológia.

Text hesla

topologický priestor — množina so systémom otvorených podmnožín. Nech \(X\) je množina a \(\mathcal T\) je systém jej podmnožín. Systém \(\mathcal T\) nazývame topológiou na \(X\), ak spĺňa nasledujúce podmienky:

1. \(\emptyset\in\mathcal T,X\in\mathcal T\),

2. ak \({\left\lbrace U_i\right\rbrace}_{i\in I}\) je taký systém podmnožín, že \(U_i\in \mathcal T\) pre každé \(i\in I\), tak \({\bigcup}_{i\in I}U_i\in \mathcal T\) (topológia je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné zjednotenia otvorených podmnožín),

3. ak \(U_1,\dots ,U_n\in \mathcal T\), tak \(U_1\cap \dots \cap U_n\in I\) (topológia je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné konečné prieniky otvorených podmnožín).

Potom dvojicu \((X, \mathcal T)\) nazývame topologický priestor s nosičom \(X\) a so systémom otvorených podmnožín (topológiou) \( \mathcal T\). Prvky množiny \(X\) nazývame bodmi topologického priestoru. Prvky množiny \( \mathcal T\) nazývame otvorenými množinami priestoru \((X,\ \mathcal T)\).

Skúmaním vlastností topologických priestorov sa zaoberá topológia.

Zverejnené 7. januára 2021.

citácia

Topologický priestor [online]. Encyclopaedia Beliana, ISBN 978-80-89524-30-3. [cit. 2021-02-28]. Dostupné na internete: https://beliana.sav.sk/heslo/topologicky-priestor