konečná geometria

konečná geometria — geometrický systém pozostávajúci z konečného počtu bodov a objektov iných rozmerov (nazývaných priamka, príp. rovina, podpriestor, nadrovina ap.) spĺňajúcich predpísané axiómy incidencie. K tomuto zvyčajne synteticky opísanému systému sa podobne, ako v prípade \(d \)-rozmerného euklidovského priestoru nad poľom reálnych čísel \(\mathbb{R}\) dá metódou súradníc analyticky vybudovať \(d\)-rozmerný afinný priestor nad každým konečným poľom (→ Galoisovo pole) a následne sa dajú analyticky vybudovať aj \(d \)-rozmerné projektívne priestory nad takýmto poľom. Keďže syntetický axiomaticko-deduktívny prístup je všeobecnejší, pri definícii a štúdiu konečných geometrií sa uprednostňuje pred analytickým prístupom.

Pre svoje významné algebraické a kombinatorické vlastnosti sa najviac skúmajú konečné afinné a projektívne roviny, t. j. priestory rozmeru (dimenzie) 2, v ktorých body incidujú s priamkami. Predmetom výskumu sú aj konečné verzie neeuklidovských geometrií: v inverzívnych (Möbiových) rovinách body incidujú s kružnicami , v Minkowského rovinách s hyperbolami a v Laguerrových rovinách s parabolami.

Konečná afinná rovina spĺňa tieto axiómy:

1. existuje jediná priamka, ktorá inciduje s dvoma rôznymi bodmi;
2. pre priamku \(p\) a ľubovoľný bod \(B\), ktorý neinciduje s \(p\), existuje práve jedna priamka incidujúca s \(B\), ktorá nemá spoločný bod s \(p\);
3. existujú štyri body, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke.

Z axióm sa dá odvodiť, že konečná afinná rovina obsahuje \(n^2\) bodov a \(n^2+n\) priamok, pričom každá priamka obsahuje \(n\) rôznych bodov a každým bodom prechádza \(n+1\) rôznych priamok. Prirodzené číslo \(n\ge2\) označuje rád afinnej roviny. Z kombinatorického hľadiska afinná rovina rádu \(n\) predstavuje \((n^2,n,1)\)-blokový plán (→ Steinerov systém). Príkladom konečnej afinnej roviny rádu \(q\) je dvojrozmerný afinný priestor \(A^2(\mathbb{F}_q)\) vytvorený nad konečným poľom \(\mathbb{F}_q\), obsahujúci \(q^2\) bodov reprezentovaných usporiadanými dvojicami \([q_1,q_2]\) z \(\mathbb{F}_q^2\), kde \(q=p^k\) je mocnina prvočísla (obr. 1).

Konečná projektívna rovina spĺňa tieto axiómy:

1. existuje jediná priamka, ktorá inciduje s dvoma rôznymi bodmi;
2. pre dve rôzne priamky existuje práve jeden bod, ktorý s nimi inciduje;
3. existujú štyri body, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke.

Z axióm sa dá odvodiť, že konečná projektívna rovina spĺňa vzťah duality medzi bodmi a priamkami – obsahuje \(n^2+n+1\) bodov a rovnaký počet priamok. Každá priamka obsahuje \(n+1\) rôznych bodov a cez každý bod prechádza \(n+1\) rôznych priamok. Prirodzené číslo \(n \ge 2\) označuje rád projektívnej roviny, ktorá sa zvykne označovať ako \(PG(2,n)\) (projektívna geometria rozmeru 2, rádu n). Z kombinatorického hľadiska projektívna rovina \(PG(2,n)\) predstavuje symetrický \((n^2+n+1,n+1,1)\)-blokový plán. Príkladom konečnej projektívnej roviny rádu \(q\) je projektívna rovina \(P^2(\mathbb{F}_q)\) nad konečným poľom \(\mathbb{F}_q\), kde \(q=p^k\) je mocnina prvočísla (→ projektívny priestor); pre \(q=2\) je to fanovská rovina, ktorá obsahuje 7 bodov a 7 priamok (obr. 2).

Každá konečná afinná rovina sa dá pridaním nevlastnej priamky rozšíriť na konečnú projektívnu rovinu rovnakého rádu a, naopak, doplnok každej priamky v konečnej projektívnej rovine rádu \(n\) predstavuje afinnú rovinu rádu \(n\). Body projektívnych rovín \(P^2(\mathbb{F}_q)\) skonštruovaných pomocou konečného poľa \(\mathbb{F}_q\) sa dajú reprezentovať pomocou trojíc homogénnych súradníc \([q_1:q_2:q_3]\) pre \(q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{F}_q\) . Afinná časť projektívnej roviny zodpovedá \(q^2\) bodom napr. tvaru \([\bar{1}: q_2: q_3]\), nevlastnú priamku tvorí \(q+1\) bodov tvaru \([\bar{0}: \bar{0}: \bar{1}]\), resp. \([\bar{0}:\bar{1}:q_3]\) (obr. 3) .

Všetky projektívne roviny \(P^2(\mathbb{F}_q)\) skonštruované pomocou konečného poľa \(\mathbb{F}_q\) spĺňajú Desarguov výrok (resp. → Pappov výrok). Existujú však aj konečné projektívne roviny, ktoré Desarguov výrok nespĺňajú – ide o nedesarguovské projektívne roviny. V známych príkladoch takýchto rovín sa dá množina ich bodov opísať aj ako \(P=\{ (r_1, r_2)\} \cup \{r_3\} \cup\{(\infty)\}\) pre \(r_1, r_2, r_3 \in R\), kde \(R\) má štruktúru tzv. planárneho ternárneho okruhu, ktorý nie je konečným poľom, ale ide o kvázipole (1943; M. Hall ml.), resp. skoropole (1957; Daniel R. Hughes, *1927, †2012). Prvé konštrukcie nedesarguovských projektívnych rovín rádu 9 a 27 boli známe už skôr (1907) a pochádzajú od O. Veblena a J. H. M. Wedderburna.

Všetky známe príklady konečných projektívnych rovín majú rád, ktorý sa rovná mocnine prvočísla. Existuje hypotéza, podľa ktorej konečná projektívna, resp. afinná rovina rádu \(n\) existuje práve vtedy, keď \(n\) je mocninou prvočísla, \(n=p^k\). Dôkazy neexistencie konečných projektívnych rovín rádu \(n\) pre špeciálne hodnoty \(n\) sú významné v kombinatorike – prípad \(n=6\) vyplýva z neexistencie grécko-latinského štvorca rádu \(6\) (tzv. problém 36 dôstojníkov; dôkaz 1901; Gaston Tarry, *1843, †1913; → latinský štvorec), prípad \(n=10\) z neexistencie systému navzájom kolmých latinských štvorcov rádu \(10\) (1989; Clement Wing Hong Lam; dôkaz pomocou rozsiahleho počítačového prehľadávania); na niektoré \(n\) tvaru \(4k+1\), resp. \(4k+2\) sa vzťahuje Bruckova-Ryserova veta (1949), ktorá udáva niektoré nutné podmienky existencie symetrických blokových plánov. Najmenším \(n\), pre ktoré nie je známe, či existuje konečná projektívna rovina daného rádu, je \(n=12\).

Pre konečné projektívne priestory vyšších rozmerov existuje ich kompletná klasifikácia – podľa Veblenovej-Youngovej vety (1917) je každý konečný projektívny priestor \(PG(d,n)\), rozmeru \(d \ge 3\) a rádu \(n\) nutne izomorfný s \(d\)-rozmerným projektívnym priestorom \(P^d(\mathbb{F}_q) \) nad nejakým konečným poľom \(\mathbb{F}_q\). Príkladom je trojrozmerný projektívny priestor \(P^3(\mathbb{F}_2)\) nad poľom \(\mathbb{F}_2\) obsahujúci \(15\) bodov, \(35\) priamok a \(15\) rovín, pričom každá rovina obsahuje \(7\) bodov a \(7\) priamok a je izomorfná s fanovskou rovinou. Na každej priamke ležia tri body a každá priamka leží v troch rôznych rovinách. Cez každý bod prechádza \(7\) priamok a \(7\) rovín. Ide o jeden z prvých príkladov konečnej geometrie vytvorenej pomocou axióm incidencie (1892; G. Fano).