algebraická varieta

algebraická varieta —

1. v klasickom chápaní množina všetkých bodov \(n\)-rozmerného projektívneho, resp. afinného priestoru nad poľom \(T\), ktoré sú koreňmi konečnej sústavy algebraických rovníc

\(f_i(x_0,x_1,\dots ,x_n) = 0,\quad i = 1,\dots, r,\)

resp.

\(F_i(x_1,\dots ,x_n) = 0,\quad i = 1,\dots, r,\)

kde \(f_i\) sú homogénne polynómy (→ forma, význam 7) a \(F_i\) polynómy s koeficientmi z poľa \(T\);

2. v ideálovej koncepcii množina všetkých bodov \(n\)-rozmerného projektívneho, resp. afinného priestoru nad poľom \(T\), ktoré sú koreňmi homogénneho ideálu \(\mathfrak{a}\), resp. ideálu \(\mathfrak{a}\) v oblasti integrity polynómov \(T\lbrack X_0,X_1,\dots, X_n\rbrack \), resp. \(T\lbrack X_1,\dots, X_n\rbrack\). Ak je algebraická varieta zjednotením dvoch vlastných podmnožín, ktoré sú algebraickými varietami, nazýva sa reducibilná (rozložiteľná); v opačnom prípade je ireducibilná (nerozložiteľná). Každá algebraická varieta má vyjadrenie v tvare zjednotenia konečného počtu ireducibilných variet, z ktorých žiadna nie je podmnožinou žiadnej ďalšej z nich. Tieto ireducibilné variety sa nazývajú komponenty (zložky) variety.