algebraická krivka

algebraická krivka, algebraická čiara — algebraická varieta rozmeru 1, ktorá sa dá izomorfne zobraziť do trojrozmerného projektívneho priestoru nad algebraicky uzavretým poľom. V projektívnej, resp. v afinnej rovine nad poľom \(T\) je algebraická krivka definovaná jedinou algebraickou rovnicou.

O algebraickej čiare zvyčajne hovoríme, ak \(T=\mathbb{R}\). Rovinná algebraická krivka je teda množina všetkých bodov \((x_0,x_1,x_2)\) projektívnej roviny, resp. bodov \((x,y)\) afinnej roviny, ktoré sú koreňmi rovnice \(f(x_0,x_1,x_2)=0\), resp. \(F(x,y)=0\), kde \(f\) je nenulový homogénny polynóm, resp. \(F\) je nenulový polynóm stupňa \(m\ge 1\). Každá z uvedených rovníc sa nazýva rovnica algebraickej krivky, číslo \(m\) stupeň krivky. Krivka stupňa 1 sa nazýva priamka, krivka stupňa 2 kužeľosečka, krivka stupňa 3 kubika (kubická krivka) atď.; všeobecne sa hovorí o krivke stupňa \(m\). Priamky sa v bežnej reči nenazývajú krivkami.

Ak je polynóm \(f\) reducibilný, t. j. \(f=f_1\cdot f_2\), kde \(f_1\), \(f_2\) sú polynómy, a \(\mathrm{stup}\ f_1 \lt \mathrm{stup}\ f\), \(\mathrm{stup}\ f_{2} \lt \mathrm{stup}\ f\), krivka s rovnicou \(f=0\) sa nazýva reducibilná (rozložiteľná). Je zjednotením kriviek \(f_1=0\) a \(f_2=0.\) Krivka definovaná ireducibilným polynómom sa nazýva ireducibilná (nerozložiteľná). Každú krivku možno vyjadriť v tvare zjednotenia konečného počtu ireducibilných kriviek, ktoré sa nazývajú komponenty (zložky) krivky.