Hamiltonov operátor

Hamiltonov operátor [he-], hamiltonián —

1. mat. aj operátor nabla – vektorový operátor tvaru

\(\displaystyle{\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathsf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathsf{j}+\frac{\partial }{\partial z} \mathsf{k}},\)

pomocou ktorého možno vyjadriť:

a) gradient skalárného poľa \(U\) v tvare

\(\displaystyle{\nabla U=\frac{\partial U}{\partial x}\mathsf{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\mathsf{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\mathsf{k} = \mathrm{grad}\ U},\)

b) divergenciu vektorového poľa \(\boldsymbol V = u\mathsf{i} + v\mathsf{j} + w\mathsf{k}\) v tvare

\(\displaystyle{\nabla \cdot \boldsymbol V=\left(\frac{\partial }{\partial x}\mathsf{i} + \frac{\partial }{\partial y}\mathsf{j} + \frac{\partial }{\partial z}\mathsf{k} \right)\cdot (u \mathsf{i} + v \mathsf{j} + w \mathsf{k}) = \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}= \mathrm{div}\ \boldsymbol V},\)

c) rotáciu vektorového poľa \(\boldsymbol V\) v tvare

\(\displaystyle{\mathrm{rot}\boldsymbol V = \nabla \times \boldsymbol V = \left(\frac{\partial }{\partial x}\mathsf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathsf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathsf{k}\right) \times (u \mathsf{i} + v \mathsf{j} + w \mathsf{k}) = \left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right) \mathsf{i} +\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right) \mathsf{j} +\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \mathsf{k}};\)

2. fyz. zn. \(\hat H\)— operátor v kvantovej mechanike, definujúci časový vývoj kvantovej sústavy. Formálne je totožný s Hamiltonovou funkciou, ak sa fyzikálne veličiny v nej vystupujúce nahradia operátormi, napríklad zložka hybnosti \(p_x\) je nahradená operátorom -\(i\mathrm{\hslash }\frac{\partial }{\partial x}\). Pre kvantovú časticu nachádzajúcu sa v poli, v ktorom má potenciálnu energiu \(V\)(\(x\), \(y\), \(z\)), má Hamiltonov operátor tvar

\(\displaystyle{-~\frac{h^{2}}{8{\pi }^{2}m}\left(\frac{{\partial }^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{{\partial }^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{{\partial }^{2}}{\partial z^{2}}\right) + V(x, y, z)},\)

kde \(m\) je hmotnosť častice a \(h\) Planckova konštanta. Vlastné hodnoty Hamiltonovho operátora zodpovedajú vlastným hodnotám energie stacionárnych stavov sústavy.